Rasch, Friese, Hofmann, Naumann - Quantitative Methoden 2 (Aufgaben)

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Aufgaben zu Kapitel 5: Einfaktorielle Varianzanalyse

Teil I: Verständnisaufgaben

Und so funktioniert es: Wenn Sie die Frage für sich beantwortet haben, markieren Sie einfach den Bereich unterhalb der jeweiligen Frage. Weiß auf blau finden Sie dort die richtige Antwort.

Aufgabe 1

Was ist das Grundprinzip der Varianzanalyse?

Antwort:

Durch die Zerlegung der Varianz der Messwerte in erklärbare und nicht erklärbare Komponenten werden mehrere Mittelwerte simultan miteinander verglichen.

Aufgabe 2

Erklären Sie die Vorteile der ANOVA gegenüber mehreren t-Tests bei der Analyse von mehr als zwei Gruppen.

Antwort:

Keine α-Fehler-Kumulierung: Werden für das Testen einer Hypothese mehrere statistische Tests verwendet, so steigt die Wahrscheinlichkeit des α-Fehlers (die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese abzulehnen, obwohl sie in Wirklichkeit gilt) mit der Anzahl der benötigten Tests. Bei der Testung der Nullhypothese bei drei Gruppen sind z. B. mindestens drei t-Tests nötig. Die Varianzanalyse umgeht dieses Problem, da sie die Mittelwerte aller drei Gruppen simultan miteinander vergleicht und die Hypothese mit nur einem Test prüft. Kein Teststärkeverlust: Bei einem paarweisen Vergleich (z. B. beim t-Test) fließen nur die Versuchspersonen der zwei betrachteten Gruppen in die statistische Prüfung mit ein. Bei einem simultanen Vergleich aller Gruppen in der Varianzanalyse dagegen werden alle Versuchspersonen erfasst. Die Anzahl der Versuchspersonen und damit auch die Teststärke einer Varianzanalyse sind darum bei mehr als zwei Gruppen höher als bei einzelnen paarweisen Vergleichen.

Aufgabe 3

Nennen Sie die verschiednen Abweichungen, die von folgenden Varianzen betrachtet werden:
1. Gesamtvarianz
2. Systematische Varianz
3. Residualvarianz

Antwort:

Die Gesamtvarianz betrachtet die Abweichung jedes einzelnen Werts vom Gesamtmittelwert. Die systematische Varianz betrachtet die Abweichung der Bedingungsmittelwerte vom Gesamtmittelwert. Die Residualvarianz betrachtet die Abweichung jedes einzelnen Werts vom jeweiligen Gruppenmittelwert.

Aufgabe 4

Welche Varianzen müssen gleich sein, damit die Voraussetzung der Varianzhomogenität erfüllt ist?

Antwort:

Die Residualvarianzen in den einzelnen Gruppen müssen gleich sein, damit die Forderung der Varianzhomogenität erfüllt ist. Das heißt, die quadrierte mittlere Abweichung jedes Werts vom Gruppenmittelwert muss in jeder Gruppe gleich groß sein.

Aufgabe 5

Wie lautet der Erwartungswert der Varianz zwischen den Bedingungen?

Antwort:

Die Varianz zwischen schätzt neben der systematischen Varianz auch Residualvarianz: E(σ 2 Zwischen ) = n x σ 2 Effekt + σ 2 Residuum

Aufgabe 6

Wie lauten die statistischen Hypothesen einer Varianzanalyse mit einem vierstufigen Faktor? Drücken Sie die Hypothesen sowohl über Mittelwerte als auch über Varianzen aus.

Antwort:

H0: μ1 = μ2 = μ3 = μ4 bzw. σ 2α
H1: σ 2α > 0

Aufgabe 7

Welchen Wert sollte der F-Bruch bei Zutreffen der Nullhypothese theoretisch annehmen und warum?

Antwort:

Bei Zutreffen der Nullhypothese sollte der F-Bruch theoretisch einen Wert von eins annehmen. Es liegt keine systematische Varianz vor, die »Varianz zwischen« schätzt ausschließlich Residualvarianz.

Aufgabe 8

Was ist der Unterschied zwischen einem Klassifikationsfaktor und einem Treatmentfaktor?

Antwort:

Bei einem Treatmentfaktor werden die Versuchspersonen zufällig einer experimentellen Bedingung zugeordnet. Wird ein Effekt gefunden, dann ist die experimentelle Manipulation eindeutig die Ursache (von den statistischen Problemen einmal abgesehen). Bei einem Klassifikationsfaktor bestimmen organismische Variablen die Zuordnung der Gruppen (z. B. Geschlecht). Die bei einem Klassifikationsfaktor gefundenen Effekte können durch alle möglichen Merkmale verursacht werden, die mit der organismischen Variable korreliert sind.

Aufgabe 9

Wann und warum sind Post-hoc-Analysen bei der Varianzanalyse notwendig?

Antwort:

Die Alternativhypothese einer Varianzanalyse ist immer ungerichtet. Ein signifikantes Ergebnis bedeutet deshalb nur, dass mindestens ein Gruppenmittelwert von einem anderen signifikant verschieden ist. Um zu bestimmen, welche Gruppen sich signifikant voneinander unterscheiden, ist eine Post-hoc-Analyse notwendig. Allerdings ist diese nur dann sinnvoll, wenn der Faktor mehr als zwei Stufen hat.

Aufgabe 10

Wie funktioniert die Post-hoc-Analyse mit dem Tukey HSD-Test?

Antwort:

Über den Tukey HSD-Test kann die kleinste noch signifikante Differenz zwischen zwei Mittelwerten berechnet werden. Die tatsächlichen paarweisen Differenzen der Mittelwerte werden dann mit der »Honest Significant Difference« verglichen. Ist die tatsächliche Differenz größer als die HSD, dann sind die beiden betrachteten Gruppen signifikant voneinander verschieden

Teil II: Verständnisaufgaben

Hier können Sie Ihr erworbenes Wissen anwenden und Beispiele berechnen. Die Lösungen zu den Anwendungsaufgaben im Kapitel 5 finden Sie hier als Link zu einer pdf-Datei..

Aufgabe 1

Ein einfaktorieller Versuchsplan hat fünf Stufen auf dem Faktor A mit n = 13 Versuchspersonen pro Zelle. Wie lautet der kritische F-Wert bei α = 0,1?

Aufgabe 2

Gegeben sei eine einfaktorielle Varianzanalyse mit vier Stufen und insgesamt 100 Versuchspersonen. Die inhaltliche Hypothese entspricht der H0, das akzeptierte α-Niveau liegt bei 1 %. Man legt fest: »Falls es einen Effekt gibt, so darf er maximal 5 % betragen, um die Gültigkeit der H0 nicht zu verletzen.« Berechnen Sie die Teststärke des Haupteffekts.

Aufgabe 3

Wie viele Versuchspersonen braucht man insgesamt, um bei einer einfaktoriellen Varianzanalyse mit drei Stufen auf dem Faktor A einen Effekt von 25 % mit Wahrscheinlichkeit von 90 % zu finden, falls dieser tatsächlich existiert (α = 0,05)?

Aufgabe 4

Vier Gruppen werden mithilfe einer einfaktoriellen Varianzanalyse miteinander verglichen. In jeder Gruppe befinden sich 20 Versuchspersonen.

a. Wie müssten die Daten der Versuchspersonen aussehen, damit ein F-Wert von null resultiert?

b. Wie müssten die Daten der Versuchspersonen aussehen, damit der F-Wert unendlich groß wird?

c. Wie groß muss der empirische F-Wert mindestens sein, damit die H0 auf dem 5%-Niveau verworfen werden kann?

Aufgabe 5

Die Tabelle zeigt die Werte von Versuchspersonen von vier unabhängigen Stichproben. Trotz der geringen Versuchspersonenanzahl soll mit einer einfaktoriellen ANOVA untersucht werden, ob sich die Mittelwerte der Stichproben unterscheiden.

a. Berechnen Sie die QStotal, die QSzwischen und die QSinnerhalb.

b. Berechnen Sie die jeweiligen Freiheitsgrade, schätzen Sie die Varianzen.

c. Berechnen Sie den F-Wert und prüfen Sie ihn auf Signifikanz.

 

 

 

Aufgabe 6

Bei einer einfaktoriellen Varianzanalyse ergab sich das dargestellte Ergebnis.

a. Berechnen Sie die in der Tabelle fehlenden Werte. Ist das Ergebnis signifikant (α = 0,05)?

b. Berechnen Sie den Effekt!

c. Erklären Sie die Diskrepanz zwischen dem großen F-Wert und dem kleinen Effekt.

Aufgabe 7

In einem Experiment wird der Einfluss von Stimmungen auf das Schätzen von Distanzen untersucht. Die Versuchspersonen dürfen sich ein in einiger Entfernung aufgestelltes Baustellenhütchen kurz anschauen, dann werden ihnen die Augen verbunden und sie müssen zu dem Platz laufen, an dem sie das Hütchen vermuten (das natürlich in der Zwischenzeit entfernt wird). Die abhängige Variable ist die prozentuale Abweichung der gelaufenen Strecke von der tatsächlichen Distanz. In jeder Gruppe befinden sich 18 Versuchspersonen, die Residualvarianz beträgt 62,8.
➫ Ergebnis (in Prozent): x positiv = − 6 ; x neutral = −11; x negativ = −13

a. Berechnen Sie die »Varianz zwischen«!

b. Wird die einfaktorielle Varianzanalyse auf dem 5%-Niveau signifikant?

c. Wie groß ist der empirische Effekt?

d. Prüfen Sie mithilfe des Tukey HSD-Tests, welche Gruppen sich signifikant voneinander unterscheiden.

Aufgabe 8

In einer Studie geht es um die Frage, wie gut Versuchspersonen emotionale Zustände in bestimmten Situationen vorhersagen können. Versuchspersonen wurden gefragt, ob sie bereits einmal von einem Partner oder einer Partnerin verlassen worden sind. Die »Verlassenen« wurden nach der zeitlichen Entfernung der Trennung in »frisch Verlassene« und »alte Verlassene« eingeteilt und befragt, wie sie sich im Moment fühlen. Die Versuchspersonen, die noch nie verlassen wurden (die »Glücklichen«), wurden gefragt, wie sie sich fühlen würden, nachdem sie von einem Partner oder einer Partnerin verlassen worden wären. Die abhängige Variable ist die Positivität der Emotion. Es ergaben sich die Ergebnisse in nebenstehender Tabelle.

 

➫ Gegeben: σ 2 innerhalb =1,6 ; σ2 zwischen =151,43

a. Wird das Ergebnis signifikant? (α = 0,05; dfinnerhalb = (n1 – 1) + (n2 – 1) + (n1 – 1)

b. Wie groß ist der Effekt?

c. Wie viele Versuchspersonen wären notwendig gewesen, um einen Effekt der Größe Ω2 = 0,25 mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % zu finden?
 

Aufgaben zu Kapitel 6: Zweifaktorielle Varianzanalyse

Teil I: Verständnisaufgaben

Und so funktioniert es: Wenn Sie die Frage für sich beantwortet haben, markieren Sie einfach den Bereich unterhalb der jeweiligen Frage. Weiß auf blau finden Sie dort die richtige Antwort.

Aufgabe 1

Welche Effekte können in einer zweifaktoriellen Varianzanalyse auf Signifikanz geprüft werden?

Antwort:

Der Haupteffekt A, der Haupteffekt B und die Wechselwirkung A×B.

Aufgabe 2

Angenommen, einer der Effekte ist in einer zweifaktoriellen Varianzanalyse signifikant. Kann man durch diese Feststellung eine Aussage über das Vorhandensein/ Nichtvorhandensein der anderen Effekte treffen?

Antwort:

Nein, denn die drei Effekte (Haupteffekt A, Haupteffekt B und Wechselwirkung A×B) sind vollständig unabhängig voneinander. Ein Effekt kann allein oder zusammen mit einem oder beiden anderen Effekten auftreten.

Aufgabe 3

Definieren Sie den Begriff »Wechselwirkung«.

Antwort:

Die Wechselwirkung A×B oder Interaktion beschreibt den gemeinsamen Einfluss von bestimmten Stufen der zwei Faktoren auf die abhängige Variable. Sie erfasst das Zusammenwirken von Faktorstufen. Mathematisch zeigt sie sich in der Abweichung der beobachteten Zellmittelwerte von den aufgrund der Haupteffekte zu erwartenden Zellmittelwerten.

Aufgabe 4

Es wird der Einfluss von hohem vs. niedrigem Lärm (Faktor A) und starker vs. schwacher Beleuchtung (Faktor B) auf die Konzentrationsleistung gemessen. Die Daten werden mit einer 2×2-ANOVA ausgewertet. Welche inhaltliche Interpretation ergibt sich, wenn

a) nur der Faktor A signifikant wird?
b) nur der Faktor B signifikant wird?
c) Faktor A und B signifikant werden, aber die Wechselwirkung nicht?
d) nur die Wechselwirkung signifikant wird?
e) die Wechselwirkung und Faktor A signifikant werden?
f) die Wechselwirkung und Faktor B signifikant werden?
g) alle drei Effekte signifikant werden?

Antwort:

Es ergeben sich folgende inhaltliche Interpretationen:

a) Nur der Faktor A wird signifikant: Die Stärke des Lärms hat einen Einfluss auf die Konzentrationsleistung. Zum Beispiel könnte die Konzentrationsleistung bei niedrigem Lärm größer sein als bei hohem Lärm. Die Stärke der Beleuchtung hat keinen Einfluss. Der Einfluss des Lärms ist außerdem unabhängig von der Beleuchtungsstärke, d. h., bei starker Beleuchtung ist der Einfluss des Lärms genauso groß wie bei schwacher Beleuchtung.

b) Nur der Faktor B wird signifikant. Die Stärke der Beleuchtung hat einen Einfluss auf die Konzentrationsleistung, Lärm dagegen nicht. Der Einfluss der Beleuchtungsstärke ist unabhängig von der Stärke des Lärms.

c) Faktor A und B werden signifikant, die Wechselwirkung nicht: Die Stärke des Lärms und die Beleuchtungsstärke haben einen eigenständigen Einfluss auf die Konzentrationsleistung. Die Einflüsse von Lärm und Beleuchtung sind unabhängig voneinander, d. h., der Einfluss des Lärms ist genauso groß bei starker wie bei schwacher Beleuchtung. Ebenso ist der Einfluss der Beleuchtungsstärke bei großem Lärm genauso groß wie bei geringem Lärm.

d) Nur die Wechselwirkung wird signifikant: Lärm und Beleuchtungsstärke haben keinen eigenständigen Einfluss auf die Konzentrationsleistung. Im Durchschnitt bleibt die Konzentrationsleistung bei hohem und niedrigem Lärm gleich. Dasselbe gilt für schwache und starke Beleuchtung. Allerdings üben die beiden Faktoren einen gemeinsamen Einfluss auf die Konzentrationsleistung aus, d. h., die Einflüsse bestimmter Kombinationen von Faktoren auf die Konzentrationsleistung unterscheiden sich. So könnte es sein, dass bei niedrigem Lärm und schwacher Beleuchtung sowie bei hohem Lärm und starker Beleuchtung die Leistung sehr niedrig ist, während sie in den anderen beiden Kombinationen sehr hoch ist. (Dieses Ergebnis wäre aber in diesem Beispiel nicht plausibel.)

e) Der Faktor A und die Wechselwirkung werden signifikant: Lärm hat einen eigenständigen Einfluss auf die Konzentrationsleistung. Allerdings ist der Einfluss des Lärms bei starker Beleuchtung anders als bei schwacher Beleuchtung.

f) Der Faktor B und die Wechselwirkung werden signifikant: Die Beleuchtungsstärke hat einen eigenständigen Einfluss auf die Konzentrationsleistung. Allerdings ist der Einfluss der Beleuchtungsstärke bei starkem Lärm anders als bei schwachem Lärm.

g) Alle drei Effekte werden signifikant: Lärm und Beleuchtungsstärke haben einen eigenständigen Einfluss auf die Konzentrationsleistung. Die Art des Einflusses ist aber abhängig von der jeweiligen Stufe des anderen Faktors: Der Einfluss des Lärms ist bei schwacher Beleuchtung anders als bei starker, der Einfluss der Beleuchtungsstärke ist bei hohem Lärm anders als bei niedrigem Lärm.

Aufgabe 5

Wie lässt sich eine Wechselwirkung in einer Grafik darstellen bzw. erkennen?

Antwort:

Allgemein lässt sich eine Wechselwirkung als Abweichung der tatsächlichen Zellmittelwerte von den aufgrund der Haupteffekte zu erwartenden Zellmittelwerten darstellen. Haben beide Faktoren einer zweifaktoriellen ANOVA nur zwei Stufen, so weist bereits eine Nichtparallelität der zwischen den Zellmittelwerten gezeichneten Geraden auf eine Wechselwirkung hin.

Teil II: Anwendungsaufgaben

Hier können Sie Ihr erworbenes Wissen anwenden und Beispiele berechnen. Die Lösungen zu den Anwendungsaufgaben zum Kapitel 6 finden Sie hier als Link zu einer pdf-Datei..

Aufgabe 1

Bei einer zweifaktoriellen Varianzanalyse (p = 2; q = 2) wird der Haupteffekt des Faktors A auf dem 5%-Niveau signifikant (F (1;36) = 13). Wie groß ist der aufgedeckte Effekt?

Aufgabe 2

Bei welchen der folgenden zweifaktoriellen Versuchspläne liegen Haupteffekte und/ oder eine Wechselwirkung vor? (Anmerkung: Gemeint sind bei dieser Aufgabe die rein deskriptiven Unterschiede der Gruppenmittelwerte, es ist keine Testung auf Signifikanz erforderlich.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aufgabe 3

Ein Psychologe möchte herausfinden, ob die Einschätzung der eigenen Leistung von der emotionalen Labilität oder von der Erfahrung aus vorhergehenden Ereignissen abhängt. Dazu teilt er zunächst 96 Versuchspersonen in drei Gruppen auf: Personen mit sehr hohem Neurotizismus-Wert im NEO-FFI (vorher erfasst), Personen mit mittlerem Neurotizismus-Wert und Personen mit sehr niedrigem Neurotizismus-Wert. Nun lässt er diese Versuchspersonen ein Computerspiel spielen und teilt dadurch jede Gruppe nochmals in zwei Hälften auf: Die eine Hälfte verliert bei diesem Spiel, die andere Hälfte gewinnt (deren tatsächliche Leistung spielt dabei keine Rolle). Danach sollen sie eine Einschätzung ihrer eigenen Begabung geben (intervallskaliert). Die Hypothese des Psychologen lautet: »Generell führen positive Ereignisse dazu, dass man sich als begabter einschätzt und umgekehrt; aber Personen, die besonders emotional labil sind, reagieren nach einer negativen Erfahrung so, dass sie sich als unverhältnismäßig weniger begabt einschätzen.«

In folgender Tabelle finden Sie die Ergebnisstruktur:

 

 

 

a. Welche statistischen Hypothesen sind für die Fragestellung relevant?

b. Testen Sie mithilfe einer Varianzanalyse die hier möglichen Effekte (α = 0,05; QSinnerhalb = 1080)

c. Füllen Sie die Tabelle rechts vollständig aus.

 

 

 

d. Einer der Tests ist nicht signifikant geworden. Treffen Sie eine Entscheidung darüber, ob der Forscher hier in der Lage ist, die Nullhypothese anzunehmen (β = 0,05), wenn er einen Effekt von Ωp 2 = 0,1 annimmt.

e. Wie viele Versuchspersonen hätte der Forscher pro Zelle gebraucht, um diesen Effekt von 10 % hier zu finden, falls er tatsächlich existiert (β = 0,05)?

Aufgabe 4

Eine Entwicklungspsychologin möchte in einem Experiment die Einflüsse der Häufigkeit von Belohnungen (bei jedem, bei jedem zweiten bzw. jedem dritten gewünschten Verhalten) und der Art von Belohnungen (Geld, Süßigkeit, Lob) auf kooperatives Verhalten bei Kindern (Beobachterrating) untersuchen. In jeder Bedingungskombination wurden fünf Kinder untersucht. Die Ergebnisse zeigt die folgende Tabelle:

 

 

 

Folgende Quadratsummen wurden bereits berechnet: QS total = 31,98; QS zwischen = 14,18; QS A = 0,84; QS B = 6,58

a. Berechnen Sie die Mittelwerte der einzelnen Stufen der Faktoren.

b. Berechnen Sie die fehlenden Quadratsummen sowie die Freiheitsgrade und geschätzten Varianzen.

c. Prüfen Sie die einzelnen Effekte auf Signifikanz (α = 0,05).

d. Stellen Sie die Ergebnisse grafisch dar und beschreiben Sie diese in eigenen Worten.

Aufgabe 5

In der Sozialpsychologie gibt es eine Theorie über den Einfluss der Stimmung auf die Art der Informationsverarbeitung: In guter Stimmung ist die Informationsverarbeitung eher ungenau und unsystematisch; gut Gelaunte denken einfach nicht so viel nach. In schlechter Stimmung sind Personen eher geneigt nachzudenken und verarbeiten Informationen sehr systematisch. Dieser Effekt soll nun getestet werden. Zuerst wird drei gleich großen Gruppen (je n = 44) jeweils eine Stimmung induziert: positiv, neutral, negativ. Die Stimmungsinduktion ist erfolgreich (F (2;129) = 9,4, p < 0,05). Dann werden den Versuchspersonen unterschiedlich starke Argumente für eine Abschaffung von Atomkraftwerken dargeboten. Der einen Hälfte der Versuchspersonen werden schwache, wenig überzeugende Argumente für das Abschalten präsentiert. Der anderen Hälfte gibt man starke und überzeugende Argumente für die Abschaffung. Gemessen wird auf einer 9-stufigen Skala, wie stark die Versuchspersonen nach dem Lesen der Argumente der Abschaltung von Atomkraftwerken zustimmen. (0 »stimme nicht zu« bis 9 »stimme stark zu«). Als Signifikanzniveau wurde α = 0,05 angenommen. Die Residualvarianz beträgt 8,18.
Die inhaltliche Hypothese lautet: Die Stärke der Argumente spielt unter negativer Stimmung eine Rolle für den Grad der Zustimmung, d. h., bei starken Argumenten ist die Zustimmung größer als bei schwachen Argumenten. Unter positiver Stimmung spielt die Stärke der Argumente keine Rolle.
Die folgende Tabelle zeigt die ermittelten Ergebnisse.

 

 

 

 

Die F-Werte der zweifaktoriellen Varianzanalyse betragen:

Haupteffekt A (Stärke der Argumente): F (1;126) = 16,14
Haupteffekt B (Stimmung): F (2;126) = 1,34
Wechselwirkung A×B: F (2;126) = 9,41

a. Prüfen Sie die Effekte auf Signifikanz (α = 0,05).

b. Für welche Effekte der Varianzanalyse ist bei den gegebenen Ergebnissen eine Post-hoc-Analyse sinnvoll und warum?

c. Berechnen Sie die Tukey‘s Honest Significant Difference für die Wechselwirkung (α = 0,05). Verwenden Sie für die Nennerfreiheitsgrade df = 120. Welche Differenzen der Zellmittelwerte sind signifikant voneinander verschieden?

d. Stellen Sie die Wechselwirkung grafisch dar und interpretieren Sie sie inhaltlich. 

 

Aufgaben zu Kapitel 7: Varianzanalyse mit Messwiederholung

Teil I: Verständnisaufgaben

Und so funktioniert es: Wenn Sie die Frage für sich beantwortet haben, markieren Sie einfach den Bereich unterhalb der jeweiligen Frage. Weiß auf blau finden Sie dort die richtige Antwort.

Aufgabe 1

Beschreiben Sie, wie sich die Gesamtvarianz bei der einfaktoriellen Varianzanalyse mit Messwiederholung zerlegen lässt.

Antwort:

Die Gesamtvarianz lässt sich in die Varianz zwischen Personen und die Varianz innerhalb Personen zerlegen. Die Zwischenvarianz besteht bei der einfaktoriellen Varianzanalyse mit Messwiederholung aus der Personenvarianz, d. h. der Varianz, die auf systematische Unterschiede zwischen den Versuchspersonen zurückzuführen ist. Die Varianz innerhalb teilt sich wiederum auf in die Effektvarianz des messwiederholten Faktors sowie die Residualvarianz. Die Residualvarianz vereinigt untrennbar die Wechselwirkung des messwiederholten Faktors mit dem Personenfaktor sowie die restlichen unsystematischen Einflüsse.

Aufgabe 2

Nennen und erläutern Sie die für die Varianzanalyse mit Messwiederholung spezifische Voraussetzung (im Vergleich zur Varianzanalyse ohne Messwiederholung). Wie lässt sich diese Voraussetzung überprüfen? Was ist zu tun, wenn diese Voraussetzung verletzt ist?

Antwort:

In der strengen Form besagt die spezifische Voraussetzung der Varianzanalyse mit Messwiederholung, dass alle Korrelationen zwischen den einzelnen Stufen des messwiederholten Faktors homogen sein sollten (Homogenität der Korrelationen). In der Regel achtet man aber darauf, ob die liberalere Zirkularitätsannahme erfüllt ist. Die Zirkularitätsannahme erfordert, dass alle Varianzen der Differenzen zweier Faktorstufen gleich groß sind. Diese Annahme kann mit dem Mauchly-Test auf Sphärizität überprüft werden. Wenn die Zirkularitätsannahme verletzt ist, sind Korrekturverfahren (z. B. Greenhouse-Geisser, Huynh-Feldt) angezeigt, die zu einer Adjustierung der Freiheitsgrade des interessierenden F-Bruchs führen.

Aufgabe 3

Welche Effekte können in einer zweifachen Varianzanalyse mit Messwiederholung auf beiden Faktoren auf Signifikanz überprüft werden?

Antwort:

Der Haupteffekt des messwiederholten Faktors A, der Haupteffekt des messwiederholten Faktors B sowie die Wechselwirkung zwischen A und B.

Aufgabe 4

Erläutern Sie die Vor- und Nachteile der Messwiederholung.

Antwort:

Die Messwiederholung hat den Vorteil, dass individuelle Unterschiede zwischen Personen in Bezug auf das interessierende Merkmal berücksichtigt werden können und diese Varianzquelle aus der Gesamtvarianz herausgerechnet werden kann. Dadurch ist das Verfahren – besonders bei Merkmalen, die innerhalb von Personen relativ stabil sind und sich zwischen Personen stark unterscheiden – teststärker als nicht messwiederholte Verfahren. Das bedeutet, dass systematische Effekte leichter nachgewiesen werden können. Der Nachteil der Messwiederholung ist, dass die wiederholte Messung zu generellen Übungseffekten (oder auch Ermüdungseffekten) führen kann sowie zu spezifischen Sequenzeffekten (eine bestimmte experimentelle Bedingung beeinflusst eine nachfolgende Bedingung). Eine Möglichkeit, Übungs- Ermüdungs- und Sequenzeffekte zu kontrollieren, ist die Balancierung der Reihenfolge der Messungen und die Aufnahme der Reihenfolge als zusätzlichen, nicht messwiederholten Faktor.

Teil II: Verständnisaufgaben

Hier können Sie Ihr erworbenes Wissen anwenden und Beispiele berechnen. Die Lösungen zu den Anwendungsaufgaben zum Kapitel 7 finden Sie hier als Link zu einer pdf-Datei.

Aufgabe 1

Ein einfaktorieller Versuchsplan mit Messwiederholung hat vier Stufen auf dem Faktor A mit N = 21 Versuchspersonen. Wie lautet der kritische F-Wert bei α = 0,05?

Aufgabe 2

Eine Diagnostikerin möchte herausfinden, ob die Leistung in einem Studierfähigkeitstest durch Übung verbessert werden kann. Dazu lässt sie fünf Personen den Test insgesamt dreimal im Abstand von zwei Wochen absolvieren. Die folgende Tabelle gibt die Testwerte wieder.

Berechnen Sie die systematische Varianz des Faktors Testwiederholung und die Residualvarianz und berechnen Sie, ob es einen signifikanten Übungseffekt gibt.

 

 

Aufgabe 3

Eine einfaktorielle Varianzanalyse mit vier Messzeitpunkten und 20 Versuchspersonen liefert ein nicht signifikantes Ergebnis. Die mittlere Korrelation der Messwerte zwischen den einzelnen Messzeitpunkten beträgt 0,5. Wie groß war die Wahrscheinlichkeit, mit dieser Untersuchung bei einem α-Fehler von 5 % einen Effekt der Größe Ωp2 = 0,1 zu finden, falls dieser tatsächlich existiert?

Aufgabe 4

Ein Therapeut möchte zeigen, dass sich mit Yoga-Therapie wirksam psychische Störungen bekämpfen lassen. Zunächst erhebt er in einem Pre-Test die psychische Befindlichkeit seiner Klienten zum Zeitpunkt der ersten Kontaktaufnahme. Dann teilt er je 20 Personen per Zufall einer Treatment-Gruppe (erhält die Yoga-Therapie) und einer Kontrollgruppe (keine Therapie) zu. Nach acht Wochen misst er in einem Post-Test die psychische Befindlichkeit seiner Klienten erneut. Es ergeben folgende Mittelwerte:

Treatmentgruppe Pretest: M = 15 ; Treatmentgruppe Posttest: M = 22
Kontrollgruppe Pretest: M = 14,5 ; Kontrollgruppe Posttest: M = 15,5

 

 

 

 

a. Welche Analysemethode ist angebracht? Welche Effekte können damit untersucht werden und worüber geben diese Effekte Auskunft? Welchen dieser Effekte möchte der Therapeut nachweisen?

b. Die folgenden Varianzen in Tabelle wurden ermittelt. Prüfen Sie die Effekte auf Signifikanz (α = 0,05). Welche Schlussfolgerung lässt sich ziehen?
 

Aufgaben zu Kapitel 8: Verfahren für Rangdaten

Teil I: Verständnisaufgaben

Und so funktioniert es: Wenn Sie die Frage für sich beantwortet haben, markieren Sie einfach den Bereich unterhalb der jeweiligen Frage. Weiß auf blau finden Sie dort die richtige Antwort.

Aufgabe 1

Erklären Sie kurz das Grundprinzip des Mann-Whitney U -Tests.

Antwort:

Im Mann-Whitney U -Test werden den Versuchspersonen der zwei untersuchten Gruppen aufgrund ihrer Messwerte Rangplätze zugewiesen. Der Test prüft, ob sich die beiden Stichproben in der Verteilung der Rangplätze signifikant voneinander unterscheiden.

Aufgabe 2

Unter welchen Voraussetzungen sollte der U -Test einem t -Test vorgezogen werden?

Antwort:

Die Intervallskalenqualität der unabhängigen Variable ist zweifelhaft. Das Merkmal folgt in der Population keiner Normalverteilung. Die Annahme der Varianzhomogenität ist sehr stark verletzt.

Aufgabe 3

Ist der empirische U -Wert bei einem signifikanten Ergebnis größer oder kleiner als der kritische U -Wert?

Antwort:

Bei einem signifikanten Ergebnis ist der empirische U -Wert kleiner oder gleich dem kritischen U -Wert.

Aufgabe 4

Wann treten verbundene Ränge auf und wie werden sie gebildet?

Antwort:

Verbundene Ränge treten auf, wenn zwei oder mehrere Versuchspersonen denselben Testwert aufweisen. Der diesen Versuchspersonen zugewiesene Rang ergibt sich aus der Summe der aufeinander folgenden Rangplätze geteilt durch die Anzahl der Versuchspersonen mit demselben Messwert.

Aufgabe 5

Welcher Verteilung nähert sich bei großen Stichproben die U -Verteilung, welcher die H -Verteilung an?

Antwort:

Die U -Verteilung nähert sich bei großen Stichproben einer z -Verteilung, die H -Verteilung einer χ 2 -Verteilung an.

Aufgabe 6

Was ist der wichtigste Unterschied zwischen dem Mann-Whitney U -Test und dem Wilcoxon-Test?

Antwort:

Der Mann-Whitney U-Test ist ein nichtparametrisches Auswertungsverfahren für zwei unabhängige Stichproben. Der Wilcoxon-Test findet dagegen bei zwei abhängigen Stichproben Anwendung.

Aufgabe 7

Wie werden beim Wilcoxon-Test Differenzen von Messwerten behandelt, die null ergeben?

Antwort:

Im Wilcoxon-Test werden Nulldifferenzen bei der Vergabe der Rangplätze ausgelassen und nicht beachtet.

Aufgabe 8

Wie lautet die Nullhypothese des Kruskal-Wallis H -Tests?

Antwort:

Die Nullhypothese des Kruskal-Wallis H-Tests lautet: Die zugrunde liegenden Verteilungen der untersuchten Gruppen sind identisch. Die Verteilung der Ränge zu den Gruppen ist zufällig.

Teil II: Anwendungsaufgaben

Hier können Sie Ihr erworbenes Wissen anwenden* und Beispiele berechnen. Die Lösungen zu den Anwendungsaufgaben zum Kapitel 8 finden Sie hier als Link zu einer pdf-Datei..

Aufgabe 1

In einem Mann-Whitney U -Test hat sich bei n1 = 12 und n2 = 15 ein empirischer U -Wert von Uemp = 58 ergeben.

a. Prüfen Sie das Ergebnis auf Signifikanz (α = 0,05, zweiseitig).

b. Berechnen Sie näherungsweise die Teststärke dieses U-Tests, einen Effekt von Ω2 = 0,2 zu entdecken.

c. Wie viele Versuchspersonen wären annähernd notwendig gewesen, um einen Effekt von Ω2 = 0,2 mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % zu finden?

Aufgabe 2

Eine Sektfirma lässt an einem Tag der offenen Tür von ihren Gästen einen von zwei Sektsorten auf einer Skala mit drei Stufen bewerten. Es ergibt sich ein empirischer U-Wert von 770. Die Sektsorte A wurde von 35, B von 42 Gästen bewertet. Fallen die Bewertungen der Sektsorten signifikant verschieden aus (α = 0,05; σU = 20)?

Aufgabe 3

Eine Gesprächstherapeutin stuft die Bereitschaft von zehn Klienten, emotionale Erlebnisinhalte zu verbalisieren, vor und nach einer gesprächstherapeutischen Behandlung auf einer 10-Punkte-Skala in folgender Weise ein:

 

 

Überprüfen Sie (α = 0,05), ob aufgrund der Einschätzung durch die Therapeutin nach der Therapie mehr emotionale Erlebnisinhalte verbalisiert werden als zuvor. (Am Intervallskalencharakter der Einstufung muss gezweifelt werden.)

Aufgabe 4

Eine Gruppe von fünf Patienten wird vor einem chirurgischen Eingriff über die Stärke und Art der nach der Operation zu erwartenden Schmerzen aufgeklärt. Eine zweite Gruppe von fünf Patienten wird nicht aufgeklärt. Nach der Operation werden die Patienten gebeten, die Stärke ihrer Schmerzen auf einer Skala von null (keine Schmerzen) bis 20 (starke Schmerzen) anzugeben.

 

 

 

Untersuchen Sie mithilfe des Mann-Whitney U-Tests, ob sich die Schmerzbewertung zwischen den beiden Gruppen signifikant unterscheidet (α = 0,05).

Aufgabe 5

Acht Schüler bewerten ihr Interesse am Snowboardfahren vor und nach einem Werbefilm über Snowboards:

 

 

 

Prüfen Sie mithilfe des Wilcoxon-Tests, ob es einen signifikanten Unterschied im Interesse der Schüler vor und nach dem Film gibt (α = 0,05).

Aufgabe 6

In einer entwicklungspsychologischen Studie über manuelle Fertigkeiten untersucht ein Psychologe die Geschicklichkeit von Kindern in vier verschiedenen Altersgruppen, einen Ball durch ein Loch fallen zu lassen, ohne dass dieser dabei die Ränder des Lochs berührt. Die Anzahl der erfolgreichen Durchgänge der einzelnen Kinder zeigt die nebenstehende Tabelle.

 

 

 

 

 

Prüfen Sie mithilfe eines Kruskal-Wallis H-Tests, ob sich die Kinder in den verschiedenen Altersstufen in ihrer manuellen Fertigkeit signifikant unterscheiden (α = 0,05).

 

Aufgaben zu Kapitel 9: Verfahren für Nominaldaten

Teil I: Verständnisaufgaben

Und so funktioniert es: Wenn Sie die Frage für sich beantwortet haben, markieren Sie einfach den Bereich unterhalb der jeweiligen Frage. Weiß auf blau finden Sie dort die richtige Antwort.

Aufgabe 1

Richtig oder Falsch? Beim χ2-Test...

a. ist die Teststärke von vornherein höher als bei allen anderen statistischen Tests.
Antwort: Falsch

b. sollte die erwartete Zellhäufigkeit in mindestens 80 % der Zellen größer als n = 5 sein.
Antwort: Richtig

c. kann man keine A-priori-Stichprobenumfangsplanung durchführen.
Antwort: Falsch

d. wird die empirische Häufigkeitsmatrix mit einer erwarteten Matrix verglichen.
Antwort: Richtig

e. hat die relevante Wahrscheinlichkeitsverteilung einen Mittelwert von null.
Antwort: Falsch

f. können einseitige Hypothesen nur getestet werden, wenn das Merkmal zwei Stufen hat.
Antwort: Richtig

g. resultiert dann ein χ2-Wert von eins, wenn die beobachteten und die erwarteten Häufigkeiten gleich sind.
Antwort: Falsch

h. kann der χ2-Wert nur positive Werte annehmen.
Antwort: Richtig

i. wird das χ2-Niveau halbiert, um einseitig zu testen.
Antwort: Falsch

j. können auch nominalskalierte Daten betrachtet werden.
Antwort: Richtig

k. gibt die Effektstärke den Anteil der Effektvarianz an der Gesamtvarianz an.
Antwort: Falsch

l. wird ein χ2-Wert umso eher signifikant, je höher die Anzahl der Freiheitsgrade ist.
Antwort: Falsch

m. ist der kritische χ2-Wert immer höher als der empirische.
Antwort: Falsch

n. wird der χ2-Wert umso größer, je stärker die beobachteten Häufigkeiten von den erwarteten abweichen.
Antwort: Richtig

o. ergeben sich die Freiheitsgrade abhängig von der Anzahl der untersuchten Personen.
Antwort: Falsch

p. kann der χ2-Wert als unstandardisiertes Effektstärkenmaß interpretiert werden.
Antwort: Richtig

Teil II: Anwendungsaufgaben

Hier Sie Ihr erworbenes Wissen anwenden und Beispiele berechnen. Die Lösungen zu den Anwendungsaufgaben zum Kapitel 9 finden Sie hier als Link zu einer pdf-Datei.

Aufgabe 1

In einer Studie berichten die Autoren über eine Auszählung, nach der eine Stichprobe von 450 neurotischen Patienten mit folgenden Häufigkeiten nach folgenden Therapiearten behandelt wurde:

Klassische Analyse und analytische Psychotherapie: 82

Direkte Psychotherapie: 276

Gruppenpsychotherapie: 15

Somatische Behandlung: 48

Custodial Care: 29

Überprüfen Sie die Hypothese, dass sich die 450 Patienten auf die fünf Therapieformen gleich verteilen (α = 0,05).

Aufgabe 2

Ein Zahnarzt fragt sich, ob seine Patienten eher eine qualitativ schlechte oder gute Zahnpasta benutzen. Er befragt 200 Patienten seiner Praxis nach ihrer Zahnpastamarke (»no name« und »Aldo« sind eher schlechte, »blendo« und »blendo + fluor« bessere Zahnpasten). Es ergaben sich folgende Häufigkeiten:

No name: 63
Aldo: 56
Blendo: 43
Blendo + Fluor: 38

a) Kommt jede Zahnpastamarke unter den Patienten gleich häufig vor (α = 0,05)?

b) Wie groß ist die empirische Effektstärke?

c) Wie groß war die Teststärke, um einen Effekt der Größe w2 = 0,05 zu finden?

d) Wie groß hätte der Stichprobenumfang sein müssen, um einen mittleren Effekt von w2 = 0,05 mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % zu finden?

Aufgabe 3

Die Nudelfirma Mirucali möchte untersuchen, wie groß der Effekt ihrer Werbung auf das Entscheidungsverhalten von Kunden ist. Sie zeigen 80 Personen einen Werbefilm und lassen sie danach zwischen drei Nudelgerichten wählen. Es ergibt sich folgende Verteilung:

Burilla-Nudeln: 36
Mirucali Nudeln: 15
5 Glocken: 29

a) Ist die Abweichung von der Gleichverteilung signifikant (α = 0,05)?

b) Wie groß ist der Effekt?

c) Was bedeutet das Ergebnis für die Firma Mirucali?

Aufgabe 4

Ein Forscher interessiert sich für die Frage, ob Kurzsichtigkeit unter Studierenden vermehrt auftritt. In der Gesamtbevölkerung tritt Kurzsichtigkeit mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,25 auf. Der Forscher kategorisiert eine Stichprobe von 100 Studenten nach kurzsichtig/nicht kurzsichtig und erhält die folgende Häufigkeitsverteilung:

Kurzsichtigkeit: 40

Keine Kurzsichtigkeit 60

Trifft die Hypothese der vermehrten Kurzsichtigkeit unter den Studierenden des Forschers zu (α = 0,05)?

Aufgabe 5

Die Auftretenswahrscheinlichkeit für Hautkrebs in Australien liegt bei 5 %. Eine Forscherin behauptet, dass sie aufgrund des wachsenden Ozonlochs in Wirklichkeit bereits 9 % betrage.

a. Welcher Effektstärke käme dies gleich?

b. Wie viele Versuchspersonen müsste sie untersuchen, um den aus Aufgabe 5a errechneten Effekt mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % (α = 0,05) zu finden?

c. Die Forscherin hat 150 Personen untersucht und erhielt ein nicht signifikantes Ergebnis (α = 0,05). Wie groß war die Wahrscheinlichkeit, ihren in Aufgabe 5a berechneten theoretischen Effekt mit einer gerichteten Hypothese zu bestätigen? Darf sie die H0 interpretieren?

Aufgabe 6

Es wird behauptet, Studierende verschiedener Fachrichtungen unterschieden sich in ihrer Einstellung zur klassischen Musik. Professor Krach befragte zur Überprüfung dieser Behauptung Studierende verschiedener Fächer nach der Häufigkeit ihres Besuchs von Konzerten mit klassischer Musik. Er bildet die Kategorien nie, selten und oft. Das Ergebnis stellt er in folgender Tabelle zusammen:

Überprüfen Sie die Behauptung!